Wat is het verschil tussen een stationair ergodisch en een stationair niet-ergodisch proces?


Antwoord 1:

Een eerste waarschuwing is op zijn plaats: de spreektaal om dit onderwerp te bespreken is een beetje verwarrend wanneer we proberen om betrokken wiskundige notatie te vermijden; bijvoorbeeld, de concepten van "statistieken langs tijd" en "statistieken langs realisaties" moeten een beetje nadenken ...

Maar laten we er toch naar toe gaan ...

######

Een stochastisch proces (SP) is een verzameling willekeurige variabelen (RV) geïndexeerd op tijd,

kk

.

Een stationaire SP is er een waarin de statistieken van de RV, die op elk moment worden "geworpen"

kk

, zijn onveranderlijk in de loop van de tijd; deze "statistieken" zijn meestal het gemiddelde, de variantie en de cross-term eigenschappen (covariantie, correlatie) van de RV.

In theorie, voor een bepaalde SP, noem het

x[k]x[k]

waar

kk

is de discrete tijdindex (discrete SP's zijn eenvoudiger te begrijpen dan continue SP's) u kunt een zeer hoog (zelfs oneindig) aantal 'realisaties' produceren, dat wil zeggen 'instanties' van die SP: noem ze

x1[k],x2[k],xr[k]x_1[k], x_2[k],\cdots x_r[k] \cdots

waar

rr

is de index van de realisatie.

Er zijn hier dus twee indices die het spel spelen:

kk

voor tijd; en

rr

voor realisatie.

In de onderstaande afbeelding, gerelateerd aan een continue SP, is de tijdvariabele

tt

(horizontale as) en de realisaties worden geïndexeerd met A, B, C, D, ... (verticale as) en

XX

is de benaming van de SP. Dit illustreert de betekenis van de twee assen geassocieerd met een SP.

Om de statistieken van de RV te krijgen

x[k0]x[k_0]

op een bepaald moment

k0k_0

, we moeten de waarde van die RV uit verschillende realisaties pakken,

xr[k0],r=1,2,3,x_r[k_0], r=1,2,3,\cdots

. Deze bewerking wordt aangegeven met de groene rechthoek in de bovenstaande afbeelding.

Laten we illustreren met het gemiddelde

μx[k0]\mu_{x[k_0]}

geschat uit een steekproef van

R+1R+1

realisaties (van het uiteindelijk oneindige aantal realisaties van de SP ...)

μx[k0]1R+1r=r0r0+Rxr[k0]\mu_{x[k_0]} \approx \frac{1}{R+1}\sum_{r=r_0}^{r_0+R} x_r[k_0]

Een SP is stationair als de statistieken meegaan

kk

niet variëren. Dat wil zeggen, als men berekent, voor een gegeven

k=k0k=k_0

, de statistieken van

xr[k0]x_r[k_0]

voor

r=1,2,3,r=1,2,3,\cdots

, ze zijn geldig voor alle momenten van tijd

kk

(thestatisticsincludecovarianceofx[k0]withotherRVs[math]x[k][/math],[math]kk0[/math],ofthesameSPlocatedatothertimeinstants). (the statistics include covariance of x[k_0] with other RVs [math]x[k][/math], [math]k\ne k_0[/math], of the same SP located at other time instants).

Als we de gemiddelde statistiek opnieuw als voorbeeld gebruiken, kunnen we in een stationaire SP schrijven

μx[k]μX,  k\mu_{x[k]} \equiv \mu_X, \quad \forall \; k \quad

(voor een stationaire SP)

######

Een SP is ergodisch als de statistieken genomen langs de tijdindex,

kk

, zijn hetzelfde als de statistieken langs de realisatie-as (zoals het eerder berekende gemiddelde), geïndexeerd door

rr

.

In de praktijk, voor SP's waar we slechts toegang hebben tot één enkele realisatie,

r0r_0

, (en er zijn veel gevallen van), ergodiciteit betekent dat we de statistieken (gemiddelde, variantie, enz ...) kunnen "extraheren" uit die ene realisatie

r0r_0

door verschillende monsters te nemen

x[k]x[k]

langs de tijdas,

kk

, in plaats van het gemiddelde te nemen

rr

.Thistimestatistics,takenalongtimek,isindicatedbytheredrectangleinthepreviouspicture.. This time statistics, taken along time k, is indicated by the red rectangle in the previous picture.

Ga opnieuw naar de gemiddelde berekeningen (onder de hypothese dat het aantal monsters,

RR

, is een even waarde) en met behulp van een enkele realisatie,

r0r_0

, van de SP:

μx[k0]1R+1k=k0R/2k0+R/2xr0[k]\mu_{x[k_0]} \approx \frac{1}{R+1}\sum_{k=k_0-R/2}^{k_0+R/2} x_{r_0}[k]\quad

(voor een ergodische SP)

######

Laten we, om concrete voorbeelden te geven, nadenken over het ontwerpen van een SP stationair en ergodisch, en een andere SP die stationair maar niet ergodisch is.

#######

Overweeg twee dobbelstenen: een gemeenschappelijke dobbelsteen met 6 gezichten, D6; en een minder gebruikelijke 4-face dobbelstenen, D4. Kijk naar de onderstaande afbeelding die verschillende n-face dobbelstenen toont :-). De onderste dobbelstenen zijn de 6-face en 4-face types.

In onze SP gaan we 100 keer een dobbelsteen gooien. Maar we gaan het op twee verschillende manieren doen.

[1] Een stationaire en ergodische SP

X1X1

wordt gemaakt door altijd de 6-face dobbelstenen, D6, te kiezen en deze 100 keer te rollen met

kk

als de index van de steekproef, wat gelijk is aan tijd. Hieronder worden mogelijke voorbeelden getoond (vereenvoudigd). De eerste rij heeft de horizontale tijdindex

kk

; de verticale as is gemarkeerd met de realisatie-index,

rr

. Elke realisatie bevat uiteindelijk de informatie over de dobbelstenen die erin worden gebruikt.

- k = 1, 2, 3, 4, 5, ... 99, 100

r = 1; 1 3 4 4 1… 2 1 (D6)

r = 2; 6 4 2 2 3… 5 5 (D6)

r = 3; 4 4 1 2 6… 1 6 (D6)

.......

[2] Een stationaire maar niet ergodische SP

X2X2

wordt gemaakt door eerst de 6-face dobbelstenen, D6, of de 4-face dobbelstenen, D4 te kiezen, met een kans van 50% om elke dobbelsteen te kiezen en deze 100 keer te werpen. Hieronder worden ook mogelijke voorbeelden getoond (ook vereenvoudigd).

- k = 1, 2, 3, 4, 5, ... 99, 100

r = 1; 2 3 5 4 1… 3 2 (D6)

r = 2; 1 1 4 2 2… 3 3 (D4)

r = 3; 4 4 1 2 2… 1 1 (D4)

r = 4; 5 3 1 2 5… 1 1 (D6)

.......

######

Beide SP zijn stationair omdat, in beide ervaringen, de statistieken in de loop van de tijd hetzelfde blijven (worp met dobbelstenen,

k=1,,100k=1,\cdots,100

). Dus de kanswet die aan elke RV is gekoppeld,

x[k]x[k]

, is altijd hetzelfde.

Met betrekking tot de gemiddelde waarde van elke dobbelsteen, zijn ze

μD6=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5\mu_{D6}=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5

(als D6) en

μD4=(1+2+3+4)/4=2.5\mu_{D4}=(1+2+3+4)/4=2.5

(als D4).

Laten we nu eens nadenken over SP

X1X1

. Als we het gemiddelde schatten

μX1\mu_{X1}

hetzij met monsters in de tijd

kk

in een bepaalde realisatie

r0r_0

of voor een bepaald moment

k0k_0

,withsamplesalongtherealizationaxis,r,wewillgetthesamevalue3.5(whenthenumberofsamplesgoestoinfinity)becausethedicewillalwaysbethesame.So,theprocess[math]X1[/math]isergodicsinceaveragesalongtimeandalongrealizationarethesame., with samples along the realization axis, r, we will get the same value 3.5 (when the number of samples goes to infinity) because the dice will always be the same. So, the process [math]X1[/math] is ergodic since averages along time and along realization are the same.

Maar de SP

X2X2

is niet ergodisch. Als we het gemiddelde langs de tijdas schatten,

kk

, we krijgen ofwel 3,5, als de dobbelstenen die in dat geval worden gebruikt D6 zijn, of we krijgen 2,5, het gemiddelde van de dobbelstenen D4 als deze wordt gebruikt.

Maar als we het gemiddelde voor een bepaald moment schatten

k0k_0

langs de realisatie-as,

rr

, we krijgen geen van deze waarden. Omdat elke realisatie 50% waarschijnlijkheid heeft om D4 te gebruiken en 50% waarschijnlijkheid om D6 te gebruiken, is het geschatte gemiddelde voor een groot aantal monsters

μk0=0.5(3.5+2.5)=3\mu_{k_0}=0.5(3.5+2.5)=3

, een waarde die 'nooit' kan worden geschat (in probabilistische zin) door een tijdgemiddelde te doen in een enkele realisatie.

######

Dit waren dus twee voorbeelden die, hopelijk, uw vraag beantwoorden.

HTH


Antwoord 2:

Een ergodisch proces is er een waarvoor de faseruimte is verbonden onder gegeven omstandigheden van de externe variabelen. Een niet-ergodisch proces is er een waarvoor de faseruimte niet is verbonden voor bepaalde omstandigheden.

Een eenvoudig voorbeeld:

Overweeg het tweedimensionale Ising-model - Wikipedia op een oneindig rooster, in magnetisch veld nul, met een soort enkelvoudige spin-flip-dynamiek. Bij een hoge temperatuur

T>TcT > T_c

, dit model is ergodisch. Maar bij een lage temperatuur

T<TcT < T_c

, het model is niet-ergodisch, omdat het toegankelijke gebied van de faseruimte in twee gescheiden delen is gescheiden.